数学极客-哥德尔
2017-08-26 德先生 算法与数学之美
数学极客-哥德尔
丘吉尔曾说过，“The longer you can look back, the farther you can look forward. (回顾历史越久远，展望未来就越深远)”，为纪念人工智能领域做出杰出贡献的先辈与开拓者们，鼓励更多后起之秀投身该领域，人工智能国际杂志《IEEE Intelligent Systems》自2006年始至今陆续推选出了60位人工智能专家。
其中人工智能名人堂第18期的主人公是爱因斯坦一直找寻的谈伴，并被爱因斯坦视为知音的哥德尔。库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）生于捷克的布尔诺，卒于美国普林斯顿。早年在维也纳大学攻读物理、数学，并参加哲学小组活动。1930年获博士学位。其博士论文证明了「狭谓词演算的有效公式皆可证」。之后在维也纳大学工作。1938年到美国普林斯顿高等研究院任职，1948年加入美国籍。1953年成为该所教授。哥德尔发展了冯．诺伊曼和伯奈斯等人的工作，其主要贡献在逻辑学和数学基础方面。
幼年时的哥德尔（左二）与家人
少年时光
目前发现的哥德尔的最早文字记录是他的小学数学练习本，大约时间是1912年，那时哥德尔6岁。最逗的是他有道题算错了，4-1=4。又擦掉重做。这么大的数学天才小时候也是一步一步走出来的。
8岁时，哥德尔患上了严重的风湿性关节炎。他好追根究底的天性促使他钻研了解这种疾病，并知道了它可能的副作用，包括它对心脏的损害。尽管医生告知他得病后并未留下后遗症，他还是相信他的心脏受到损害。这一点成为他以后生活中一直坚守的一个顽固信念，同时也成为了他后来疑病症的来源。
中学时期，哥德尔在数学和几何方面的才能初显，16岁就开始阅读康德的著作。他认为康德对他的智力发展具有塑造作用。这一时期，由于富裕和很高的社会地位，哥德尔一家并没有受到一战战后重建的太大干扰，这也为哥德尔的不断求学打好了物质基础。
哥德尔与妻子
青年生活
哲学界一个有意思的话题是有影响的哲学家大学本科是什么专业的。1924年7月，哥德尔进入了维也纳大学。最开始哥德尔的主修专业是理论物理，但听了菲利普-富特文格勒的数学课后，他便转到了楼下的数学系。在数学系，不时的替主讲教授讲课，或者指点低年级的小萌新，对于哥德尔来说已经是常事。与此同时，他还选修了富特温勒的数论课，这激发他将数论方法应用于逻辑——以自然数表达逻辑和数学命题，现在叫做“哥德尔化”。
1929年，哥德尔与大他6岁的阿黛尔结婚。哥德尔太太阿黛尔曾是夜总会舞女，她到美国后总对人说她是跳芭蕾的。殊不知美国人也了解欧洲战前文化，说跳芭蕾比夜总会也高不了多少。哥德尔朋友们对她的看法是“说话尖酸，粗鲁暴躁”。但哥德尔被她通情达理的气质和乐观的天性深深吸引。即使这么内向的人，外人在时，哥德尔也经常晒幸福，让人家受不了。
定理的证明方法
哥德尔不完备定理
20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的"完备性";希尔伯特还要求公理体系保持"独立性"和"无矛盾性"。希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。
正当一切都越来越明朗之际，突然一声晴天霹雳。1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明:任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，"无矛盾"和"完备"是不能同时满足的!这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹:"上帝是存在的，因为数学无疑是相容的;魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。"
但是哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学，甚至宇宙学。2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性定理。
有意思的是，在现今十分热门的人工智能领域，哥德尔不完全性定理是否适用也成为了人们议论的焦点。1961年，牛津大学的哲学家卢卡斯提出，根据哥德尔不完全性定理，机器不可能具有人的心智。他的观点激起了很多人反对。他们认为，哥德尔不完全性定理与机器有无心智其实没有关系，但哥德尔不完全性定理对人的限制，同样也适用于机器倒是事实。哥德尔不完全性定理的影响如此之广泛，难怪哥德尔会被看作当代最有影响力的智慧巨人之一，受到人们的永恒怀念。美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家中，排在第一的就是哥德尔。
哥德尔与爱因斯坦
换国籍的小故事
1948年，哥德尔决定加入美国籍，为此，他特地仔细研究了美国宪法，准备参加入籍考试。在考试的前一天，哥德尔打电话给他的朋友著名数学家、经济学家摩根斯顿，他以惊愕有十分激动的口吻告诉后者，他在美国宪法中发现了一个逻辑漏洞，利用这个漏洞，他可以把美国变换为一个专制制度。摩根斯顿和爱因斯坦第二天将一同作为哥德尔入美国籍的证人（那时入籍要证人），两人都建议哥德尔不要在移民官面前提这事。
第二天，爱因斯坦，摩根斯顿和哥德尔驱车前往联邦法院面试。面试中，法官简直被哥德尔如此庞大的亲友团惊呆了，甚至打破常规让两位证人一直坐着。
法官一上来就对哥德尔说：“到目前为止你一直拥有德国国籍……”哥德尔马上纠正法官，指出他是一个奥地利人。法官不觉得怎么尴尬，接着说道：“不管怎么说，那个国家曾在罪恶的专制制度下……不过幸运的是，这在美国几乎是不可能的。”当专制这个词蹦出来，哥德尔按捺不住大声喊叫：“恰恰相反！我知道专制在美国如何发生！而且我可以证明它！！！”
根据各种流行的说法，当时不但爱因斯坦和摩根斯顿，连法官也都一起努力让哥德尔安静下来，以免他继续就他的“发现”发表详细而冗长的谈话。最后，由于亲友团的强大影响力，哥德尔还是拿到了美国国籍。
晚年生活
50年代后，哥德尔的身体健康问题和精神问题越发严重。哥德尔晚年不相信别人做的饭菜，但太太阿黛尔也病倒了，没法照顾他。他只能吃些很简单的食物。一次王浩去看他，带了些他太太做的鸡肉，他事先通知哥德尔他会来。但他到后，哥德尔却怀疑地看着他，拒绝开门。王浩只得把鸡肉放在门口台阶上离去。也不知哥德尔吃没吃。
哥德尔逝世前一个月，王浩到他家去看他。他的头脑依然敏捷，看不出大病。他对王说：“我已经失去做肯定判断的能力了，我只能做否定判断。”临死前三天，王浩打电话给住院的哥德尔，他彬彬有礼，但语气淡漠。此时哥德尔已经没有朋友，妄想症严重，绝食。王浩是唯一亲近他的人。
1978年1月14日，哥德尔病逝。死亡证明说：死于人格紊乱造成的营养不良和食物不足。体重只有65磅。1月19日，有一个私人葬礼，阿黛尔，摩根斯顿太太，几个家庭好友加王浩参加了。3月，IAS举办追悼会。王浩和科秦讲话。科秦把哥德尔同爱因斯坦和卡夫卡相比。哥德尔把一切都留给了阿黛尔。
